Question

如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）证明：∵CE是∠BCA的平分线 ∴∠BCE=∠ACE
          又∵MN//BC ，∴∠BCE=∠CEN    ∴∠CEN=∠ACE    得出EO=CO
         同理可得CO=FO   ∴EO=FO 
    （2）当O是AC中点时，四边形AECF是矩形
         证明：由（1）知EO=FO，当O是AC中点时，有OA=OC，
        ∴四边形AECF是平行四边形
     又CE平分∠BCA ，CF平分∠BCA的外角
     ∴∠ACE=,∠ACF=
    ∴∠ACE+∠ACF=)=90°
    即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形