Question

如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝4，BC＝3，O是AB的中点，OP⊥AB交AC于点P．

(1)证明线段AO、OB、OP中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度．

(2)过线段OB(包括端点)上任一点M，作MN⊥AB交AC于点N．要使线段AM、MB、MN中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，请求出线段AM长度的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

正解1：(1)∵∠B＝，OP⊥AB． 　　∴∠AOP＝∠B＝，∴△AOP∽△ABC． 　　∴＝． 　　∵AB＝4，BC＝3，O是AB的中点， 　　∴＝，∴OP＝． 　　∵＝OP＜AO＝OB＝2，且＋2＞2， 　　∴OP＋AO＞OB，OP＋OB＞OA，OB＋OB＞OP． 　　即AO、OB、OP中，任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度． 　　正解2：∵∠B＝，OP⊥AB． 　　∴OP∥BC．又∵O是AB的中点， 　　∴OP是△ABC的中位线， 　　∴OP＝BC， 　　∵BC＝3，∴OP＝．(以下略) 　　(2)当M在OB上时，设AM＝x(2≤x≤4)． 　　则MB＝4－x， 　　∵△AMN∽△ABC， 　　∴＝，∴MN＝＝x． 　　又MN＜AM，MB＜AM． 　　依题意，得MN＋MB＞AM， 　　∴x＋(4－x)＞x． 　　解之，得x＜． 　　∴AM的取值范围为2≤AM＜．

提示：

警示：此题学生中常见的错误一是不由△AMN∽△ABC直接得出＝，产生错误；二是忽视x的取值范围，仅得出AM＜这部分范围，扩大了范围，应引起足够的重视．