Question

如图，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A₁B₁C₁的三边长分别为a₁、b₁、c₁．
（1）若c=a₁，求证：a=kc；
（2）若c=a₁，试给出符合条件的一对△ABC和△A₁B₁C₁，使得a、b、c和a₁、b₁、c₁都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a₁，c=b₁，是否存在△ABC和△A₁B₁C₁使得k=2？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC∽△A₁B₁C₁，且相似比为k（k＞1），
∴=k，a=ka₁；
又∵c=a₁，
∴a=kc；

（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a₁=4，b₁=3，c₁=2；
此时=2，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁且c=a₁；

（3）解：不存在这样的△ABC和△A₁B₁C₁，理由如下：
若k=2，则a=2a₁，b=2b₁，c=2c₁；
又∵b=a₁，c=b₁，
∴a=2a₁=2b=4b₁=4c；
∴b=2c；
∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；
故不存在这样的△ABC和△A₁B₁C₁，使得k=2．
分析：（1）已知了两个三角形的相似比为k，则对应边a=ka₁，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论；
（2）此题是开放题，可先选取△ABC的三边长，然后以c的长作为a₁的值，再根据相似比得到△A₁B₁C₁的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；
（3）首先根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立．
点评：此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用．