Question

在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC，将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P。
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）连接AP，交MN于O， ∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P， ∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN， ∴， ∵BC=6， ∴MN=3， ∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；

（2）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O， ∵MN∥BC， ∴AO⊥MN， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，BD=BC=3， ∴AD=4， ∴， ∴AO=x， ∴S△AMN=， 当AO≤AD时， 根据题意得：S△PMN=S△AMN， ∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN， ∴， ∴当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3； 当AO＞AD时， 连接AP交MN于O，则AO⊥MN， ∵MN∥BC， ∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN， ∴， 即：， ∴AO=x， ∴， ∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-x， ∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）·OD=×（2x-6+x）×（4x）=-（x-4）2+4， ∴当x=4时，y有最大值，最大值为4， 综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4。