Question

如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？
（3）试用含的代数式表示MN²，并求当x为何值时，MN²最小？求此时MN²的值．

Answer 1

解：（1）由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，
∴PW是△FMN的中位线，即PW∥MN，
∴===，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，
∴当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，反之亦然．
由题意可得DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，
由勾股定理分别得FM²=4+x²，MN²=（4-x）²+（6-x）²，
过点N作NK⊥CD于K，
∴CK=BN=x，
∵CF=CD-DF=6-2=4，
∴FK=4-x，
∴FN²=NK²+FK²=（4-x）²+16，
①当MN²=FM²+FN²时，（4-x）²+（6-x）²=4+x²+（4-x）²+16，
解得，
②当FN²=FM²+MN²时，（4-x）²+16=4+x²+（4-x）²+（6-x）²
此方程无实数根，
③FM²=MN²+FN²时，4+x²=（4-x）²+（6-x）²+（4-x）²+16，
解得x₁=10（不合题意，舍去），x₂=4，
综上，当或x=4时，△PQW为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6-x，
故只有当x=4时，MN的值最小，MN²的值也最小，此时MN=2，MN²=4，
②当4＜x≤6时，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²，
=2（x-5）²+2，
当x=5时，MN²取得最小值2，
∴当x=5时，MN²的值最小，此时MN²=2．
分析：（1）由根据题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，可得PW是△FMN的中位线，然后即可证明△FMN∽△QWP；
（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，根据DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，利用勾股定理求得FM²=4+x²，MN²=（4-x）²+（6-x）²，FN²=（4-x）²+16，然后分①当MN²=FM²+FN²时，②当FN²=FM²+MN²时，③FM²=MN²+FN²时三种情况讨论即可．
（3）根据①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6-x，故只有当x=4时，MN的值最小即可求得答案，②当4＜x≤6时，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²，解得x即可
点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识．