Question

在平面直角坐标系XOY中，一次函数y＝x＋3的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l₂过点C(a，0)且与直线l₁垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．

(1)写出A点的坐标和AB的长；

(2)当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵一次函数y＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 　　∴y＝0时，x＝－4， 　　∴A(－4，0)，AO＝4， 　　∵图象与y轴交点坐标为：(0，3)，BO＝3， 　　∴AB＝5； 　　(2)由题意得：AP＝4t，AQ＝5t，＝t， 　　又∠PAQ＝∠OAB， 　　∴△APQ∽△AOB， 　　∴∠APQ＝∠AOB＝90°， 　　∵点P在l1上， 　　∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切， 　　①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得： 　　∴＝， 　　∴PQ＝6； 　　连接QF，则QF＝PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB， 　　 　　 　　分析：(1)根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可； 　　(2)根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案． 　　点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案．