Question

如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2，PC=4，则三角形ABC的边长为________．

Answer 1

2
分析：由△BAP绕B点逆时针旋转60°得△BCM，根据旋转的性质得BM=BP，MC=PA=2，∠PBM=60°，即△BPM是等边三角形，得到PM=PB=2，在△MCP中，PC=4，利用勾股定理的逆定理得到△PCM是直角三角形，且PC=2MC，得到∠CMP=90°，∠CPM=30°．
又△PBM是等边三角形，∠BPM=60°，所以∠BPC=90°，△BPC是直角三角形，最后根据勾股定理即可求出边长BC．
解答：将△BAP绕B点逆时针旋转60°得△BCM，则BA与BC重合，如图，
∴BM=BP，MC=PA=2，∠PBM=60°．
∴△BPM是等边三角形，
∴PM=PB=2，
在△MCP中，PC=4，
∴PC²=PM²+MC²且PC=2MC．
∴△PCM是直角三角形，且∠CMP=90°，∠CPM=30°．
又∵△PBM是等边三角形，∠BPM=60°．
∴∠BPC=90°，
∴BC²=PB²+PC²=（2）²+4²=28，
∴BC=2．
故答案为2．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．