Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90° ，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

(1)若BD是AC的中线，求的值；

(2)若BD是∠ABC的角平分线，求的值；

(3)结合(1)、(2)，试推断的取值范围(直接写出结论，不必证明)，并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：设AB＝AC＝1，CD＝x，则0＜x＜1，BC＝，AD＝1－x． 　　在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝1＋(1－x)2＝x2－2x＋2． 　　由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD， 　　∴，即，从而， 　　∴，0＜x＜1， 　　(1)若BD是AC的中线，则CD＝AD＝x＝，得． 　　(2)若BD是∠ABC的角平分线，则，得，解得， 　　∴． 　　(3)若，则有3x2－10x＋6＝0，解得∈(0，1)， 　　∴，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大． 　　解法2：设AB＝AC＝1，∠ABD＝a ，则BC＝，∠CBE＝45° －a ． 　　在Rt△ABD中，有； 　　在Rt△BCE中，有CE＝BC·sin∠CBE＝sin(45° －a )． 　　因此．下略…… 　　解法3：(1)∵∠A＝∠E＝90° ，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴． 　　由于D是中点，且AB＝AC，知AB＝2AD，于是CE＝2DE． 　　在Rt△ADB中，BD＝． 　　在Rt△CDE中，由CE2＋DE2＝CD2，有CE2＋CE2＝CD2，于是． 　　而AD＝CD，所以． 　　(2)如图少图，延长CE、BA相交于点F．∵BE是∠ABC的平分线，且BE⊥CF，∴△CBE≌△FBE，得CE＝EF，于是CF＝2CE．又∠ABD＋∠ADB＝∠CDE＋∠FCA＝90° ，且∠ADB＝∠CDE， 　　∴∠ABD＝∠FCA，进而有△ABD≌△ACF，得BD＝2CE，． 　　(3)的值的取值范围为≥1．下略……