Question

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．

（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC²=AD·CE；
（3）求的值。

Answer 1

解：（1）如图1，连结OB， ∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°， ∴∠BOC=2∠BAC=90°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AD∥OC， ∴∠D=∠OCB=45°； （2）∵∠BAC=45°，∠D=45°， ∴∠BAC=∠D， ∵AD∥OC， ∴∠ACE=∠DAC， ∴△ACE∽△DAC， ∴ ∴AC2=AD·CE； （3）如图2，延长BO交DA的延长线于F，连结OA， ∵AD∥OC， ∴∠F=∠BOC=90°， ∵∠ABC=15°， ∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°， ∵OA=OB， ∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°， ∴， ∵AD∥OC， ∴△BOC∽△BFD， ∴， ∴，即的值为2。