Question

如图，在?ABCD的对角线上取两点E、F，且BF=DE，用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

证明：
方法一：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BF=DE，
∴OB-BF=OD-DE，
即OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴∠AFE=∠CEF，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
分析：方法一：连接AC，利用两组对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明，据图可知OA=OC，只需证明OE=OF，而OB=OD，BF=DE，利用等式性质易得OE=OF，从而可证；
方法二：利用的是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这需要利用全等三角形来证明，据图易证△ABF≌△CDE，那么AF=CE，∠AFB=∠CED，再利用等角的补角相等可知∠AFE=∠CEF，从而有AF∥CE，从而可证．
点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，并能灵活使用．