Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴的负半轴于点A（-5，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥y轴交函数y=ax²+bx+c的图象于点C（-2，4）．

（1）设函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，求△ABD的面积．
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q，连接PQ．试探究：
①是否存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²？为什么？
②是否存在这样的点P，使得PQ取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知B（0，4），
∵C（-2，4），则抛物线对称轴为：x=-2，
根据抛物线的对称性可知：D（3，0）．
∴S_△ABD=×8×4=16．

（2）①不存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²．
理由如下：
∵AQ∥PC，CQ∥PA，
∴四边形OAQC为平行四边形．∴PC=AQ．
若PQ²=PA²+PC²，则PQ²=PA²+AQ²，
∴∠PAQ=90°．∴∠APC=90°．
若∠APC=90°，
则当点P在线段OB上时，可得△PAO∽△CPB．
∴=．
设OP=m，则=，
即m²-4m+10=0．这个方程没有实数根．
而当P点在y轴的负半轴上或在OB的延长线时，∠APC=90°显然不可能成立．
综上所述，可得：不存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²．

②连接AC交PQ于点M，如图所示．
∵四边形PAQC为平行四边形，
∴M为AC、PQ的中点．
PQ取得最小值时，MP必定取得最小值．
显然，当P为OB的中点时，由梯形中位线定理可得MP∥CB，
∴MP⊥y轴．
此时MP取得最小值为：×（2+5）=．
∴PQ的最小值为7．
PQ取得最小值时，P（0，2）．
分析：（1）首先利用二次函数对称性得出对称轴，进而得出D点坐标，即可得出三角形面积；
（2）①首先得出四边形OAQC为平行四边形，若PQ²=PA²+PC²，则PQ²=PA²+AQ²，则∠PAQ=90°即∠APC=90°，进而得出△PAO∽△CPB，以及=，得出这样的点不存在；
②利用PQ取得最小值时，MP必定取得最小值，求出MP，的长，即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质和判定以及梯形的性质等知识，利用点到直线的距离得出MP的最小值是解题关键．