Question

高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿（即AE），这时，他量了一下竹竿的影长（AC）正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即AB=4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即BD=2米）．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：
（1）在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P．
（2）求出路灯O的高度，并说明理由．

Answer 1

解：（1）

（2）由于BF=DB=2（米），即∠D=45°，
所以，DP=OP=灯高，
△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP
∴△CEA∽△COP，即，
设AP=x，OP=h则：
①，
DP=OP表达为2+4+x=h②，
联立①②两式得：
x=4，h=10，
∴路灯有10米高．
分析：（1）连接DF并延长与CE的延长线交与一点即可得到路灯的位置；
（2）先根据竹竿和影长之间的数量关系求得∠D=45°，∠POC=30°，找到DC与灯高之间的数量关系CD=OP，根据线段之间是和差关系得到DC=DB+BA-CA，代入对应数据即可求出CD长为5米，从而求出灯高．
点评：有关中心投影的题目，可利用直角三角形和相似三角形的性质求解．本题中主要是利用了含特殊角30度，45度的直角三角形的特殊性质来求得相关线段之间的数量关系来求灯高．要知道含45度角的直角三角形的两条直角边相等，含30度角的直角三角形的短直角边等于斜边的一半．