Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE．点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在AD上以

5

cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边在PQ左侧作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）点P从点A运动到点D所需时间为

 

（s）；
当点P在线段DE上运动时，则线段DP的长为

 

（用含t的代数式表示）；
（2）当点N落在AB边上时，则t的值为

 

；
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DPQ为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1cm/s，即可求出DP；
（2）当点N落在AB边上时，分两种情况讨论：①点D与点N重合，P位于线段DE上，求出DP=DM=2，再根据DP=t-2，得出t-2=2，
②点P位于线段EB上，求出PC=t-4，根据PN∥AC，求出PN=16-2t，根据PN=PC，得16-2t=t-4，求出t即可；
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，①当2＜t＜4时，求出DP=t-2，PQ=2，AQ=2+t，AM，根据MN∥BC，求出FM=

1

2

t，
再根据S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（DP+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM代入计算即可；
②当

20

3

＜t＜8时，求出PC=t-4，AM=12-t，FM=6-

1

2

t，PG=16-2t，再根据S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM代入计算即可；
（4）当点P在线段AD上时，∠DPQ为钝角，此时只有PD=PQ，根据△APQ∽△ABC，求出PQ=t，再根据DP=DA-AP求出DP=2

5

-

5

t，得出t=2

5

-

5

t；当点P在线段AD上时，∠DPQ为直角，此时只有PD=PQ，根据PD=t-2，PQ=2，得出t-2=2；当点P在线段EB上时，此时Q、C重合；当DP=DQ时，此时Q、C重合，则t=8；当PC=PD时，PC²=PD²，得出（t-4）²=4²+（t-6）²，当CD=CP时，得出2

5

=t-4，再分别求解即可．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
D为AB中点，∴AD=2

5

，
∴点P在AD段的运动时间为

5

2 5

=2s．
如图（1）当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，
∵DE段运动速度为1cm/s，
∴DP=（t-2）cm，
故答案为：2，（t-2）cm；

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如下图所示：

①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．
由三角形中位线定理可知，DM=

1

2

BC=2，
∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，
∴t-2=2，
∴t=4；
②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．
∵DE=

1

2

AC，AC=8cm，
∴点P在DE段的运动时间为4s，
∴PE=t-6，
∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，
∴PN：PB=AC：BC=2，
∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=

20

3

，
所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=

20

3

；
故答案为：t=4或t=

20

3

；

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵MN∥BC，
∴FM：AM=BC：AC=1：2，
∴FM=

1

2

AM=

1

2

t，
S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（DP+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM=

1

2

[（t-2）+（2+t）]×2-

1

2

t•

1

2

t=-

1

4

t²+2t；
②当

20

3

＜t＜8时，如图（3）b所示．
PE=t-6，
∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=

1

2

AM=6-

1

2

t，PG=2PB=16-2t，
S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM=

1

2

[（16-2t）+8]×（t-4）-

1

2

（12-t）•（6-

1

2

t）=-

5

4

t²+22t-84．
∴综上所述，S与t的关系式为：S=

- 1 4 t2+2t(2＜t＜4) - 5 4 t2+22t-84( 20 3 ＜t＜8)

．

（4）当点P在线段AD上时，∠DPQ为钝角，此时只有PD=PQ，
∵△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PQ

BC

，
∴

5 t

4 5

=

PQ

4

，
∴PQ=t，
∵DP=DA-AP=2

5

-

5

t，
∴t=2

5

-

5

t，
t=

5- 5

2

＜2，符合题意；
当点P在线段AD上时，∠DPQ为直角，此时只有PD=PQ，
∵PD=t-2，PQ=2，
∴t-2=2，
t=4；
当点P在线段EB上时，此时Q、C重合，
当DP=DQ时，此时Q、C重合，则t=8；
当PC=PD时，PC²=PD²，（t-4）²=4²+（t-6）²，
t=9＞8，不合题意舍去，
当CD=CP时，2

5

=t-4，t=4+2

5

＞8，不合题意舍去．
答：当t=

5- 5

2

，4，8时，△DPQ为等腰三角形．

点评：本题考查了相似形综合，是一道运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们的解题能力要求很高．读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点．注意第（2）、（3）问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分．