如图，已知抛物线y=px²-1与两坐标轴分别交于点A、B、C，点D坐标为（0，-2），△ABD为直角三角形，l为过点D且平行于x轴的一条直线．
（1）求p的值；
（2）若Q为抛物线上一动点，试判断以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在过点D的直线，使该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项？如果存在，请求出直线解析式；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知，△ABD为等腰直角三角形，
又∵点D坐标为（O，-2）
∴OD=2，
∴OA=OB=OD=2．
∴点B的坐标为（2，O）．
将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，
得p= $\text{[math]}$ ．

（2）以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l相切．
设点Q的坐标为（a，b），则有a²=4b+4．
过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H（如图1）．
∴DQ=b+2．
又∵点Q到直线l的距离OQ=b+2=QG．
∴QG=DQ．
故⊙Q与直线l相切．

（3）假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．
设直线解析式为）y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．
解法一分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'（如图2）
∴MM'∥NN'，
∴ $\text{[math]}$
∵MN²=DM．DN，

∴（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0，
∵点M在直线y=kx-2上，
∴y₁=kx₁-2，
∵点M又在抛物线y= $\text{[math]}$ x²-1上，
∴y₁= $\text{[math]}$ x₁²-1
∴kx₁-2= $\text{[math]}$ x₁²-1，
即x₁²-4kx₁+4=0，
同理，有x₂²-4kx₂+4=0
∴x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的两个根，
由根与系数的关系，得16k²-20=o，
解得k=± $\text{[math]}$
当k=± $\text{[math]}$ 时，有△＞0，
所以，满足条件的解析式为y= $\text{[math]}$ -2和y=- $\text{[math]}$ -2．
分析：（1）根据△ABD为等腰直角三角形，点D坐标为（O，-2），可求点B的坐标为（2，O）．将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，得p= $\text{[math]}$ ．
（2）设点Q的坐标为（a，b），则有a²=4b+4．过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H．DQ=b+2．又点Q到直线l的距离QG=b+2．QG=DQ．⊙Q与直线l相切．
（3）先假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．设直线解析式为：y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'，因为MM'∥NN'，可知MN²=DM．DN，即（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0．根据交点的意义可得x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的两个根，
由根与系数的关系，得16k²-20=o，解得k=± $\text{[math]}$ ，当k=± $\text{[math]}$ 时，有△＞0，所以，满足条件的解析式为y= $\text{[math]}$ -2和y=- $\text{[math]}$ -2．
点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，交点的意义和二次函数和一元二次方程的关系等．要熟练掌握才能灵活运用．

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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

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（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
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（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

-2＜x＜0

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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