Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

BE=EC，BE⊥EC．
证明：∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴AB=AD=CD，
∵∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠EAB=∠EDC=135°，
∵在△EAB和△EDC中，
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，
∴∠BEC=∠AED=90°，
∴BE=EC，BE⊥EC．
分析：求出AB=DC，∠EAB=∠EDC，根据SAS证△EAB≌△EDC推出∠AEB=∠DEC，EB=EC即可．
点评：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△EAB≌△EDC．