Question

如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC切⊙O于点C，∠P=30°，连接AC，BC．
（1）求证：2PB=AB．
（2）若AC=4cm，求⊙O的半径r．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
又∠P=30°，∴，
∴2PB=2OB=AB．

（2）解：在Rt△POC中，由（1）可知∠POC=60°，又OB=OC，
∴△OBC是正三角形，∴∠ABC=60°；
∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形；
∴，
即，解得AB=8；
∴⊙O的半径．
分析：（1）连接OC，由于PC与⊙O相切，那么△PCO为直角三角形，根据∠P的度数，即可得OP=2OC，即BP=OC，由此可得BP等于⊙O的半径，而AB是⊙O的直径，即可得证．
（2）易知∠ABC=2∠P=60°，在Rt△ABC中，通过解直角三角形即可得AB的长，进而可求得⊙O的半径．
点评：此题主要考查了切线的性质以及解直角三角形的相关知识，难度不大．