Question

如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F．
（1）试探求∠1与∠2的大小关系并说明理由．
（2）用尺规作出△ABF的外接圆（保留作图痕迹），记作O，判断直线CD与⊙O的位置关系并证明．

Answer 1

解：∠1=∠2，理由如下：
∵∠1+∠CEF=90°，∠DAE+∠1=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
∵∠ADE=∠ECF=90°，
∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，
∴AE=2EF，AD=2DE，
又∵∠ADE=∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴∠1=∠2；

（2）直线CD与⊙O相切．理由如下：
圆心O在AF的中点上，如图所示，连接OE，则OF=OE，故可得∠2=∠OEF，
∵∠1+∠CEF=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CEF=90°，
∴∠OEF+∠CEF=90°，
即OE⊥CD，
故直线CD与⊙O相切．
分析：（1）首先根据∠1+∠CEF=90°，∠DAE+∠1=90°，可得∠DAE=∠CEF，然后证明△ADE∽△ECF，根据相似可得出AE=2EF，AD=2DE，对应边成比例可证明△ADE∽△AEF，即可证明∠1=∠2；
（2）直角三角形外接圆圆心在斜边中点处，由此可作出圆，证明OE⊥CD，可得出直线CD与⊙O相切．
点评：本题考查了切线的判定及性质，注意掌握直角三角形外接圆圆心在斜边中点处，另外要求同学们掌握切线的判定定理，有一定难度．