Question

如图，已知二次函数y=（1-m）x²+4x-3的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若点A的坐标为（1，0），求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）点C的坐标为（0，-3）．

（2）∵二次函数过点A（1，0），得m=2，
即所求二次函数的解析式为y=-x²+4x-3．

（3）假设存在这样的点P（如图所示），
设点P的坐标为（0，y），
当y=-x²+4x-3=0时，有x₁=1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0），
即OP=|y|，OA=1，OB=3，OC=3．
①当△POB∽△AOC时，y=±1；
②当△BOP∽△AOC时，y=±9；
③当BP∥AC时，△BOP∽△AOC，这时|y|=9．
∵这时的y＜0，
∴y=-9，与②中的第二个解相同．
综上可知，在y轴上存在点P，使点P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，
这样的点有四个，分别是P₁（0，-1）、P₂（0，1）、P₃（0，-9）、P₄（0，9）．
分析：（1）令抛物线的解析式中x=0，即可得出C的坐标．
（2）将A点坐标代入抛物线中进行求解即可．
（3）可先根据（2）的抛物线求出B点的坐标，即可求得OB的长．所求的两三角形中，已知了∠POB=∠AOC=90°，因此只需根据两组直角边对应成比例求出OP的长即可．（由于两相似三角形的对应边不确定，要分类进行求解，方法一致．）
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定即相似三角形的判定和性质．要注意（3）题在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论，不要漏解．