Question

已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．

(1)如图1，当P点在线段AB上时，求PE＋PF的值．

(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解． 　　(2)因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解． 　　解答：解：(1)∵ABCD是正方形， 　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD， 　　∴四边形PFOE为矩形，故PE＝OF． 　　又∵∠PBF＝45°，∴PF＝BF． 　　∴PE＋PF＝OF＋FB＝OB＝acos45°＝a． 　　(2)∵ABCD是正方形， 　　∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD， 　　∴四边形PFOE为矩形，故PE＝OF． 　　又∵∠PBF＝∠OBA＝45°，∴PF＝BF． 　　∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝acos45°＝a． 　　点评：本题考查正方形的性质，正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角，四边相等，四个角都是直角，以及矩形的判定和性质解直角三角形等．

提示：

考点：正方形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形．