Question

已知：如图，在菱形ABC中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=DF，AE与BD交于点M，AF与BD交于点N．
（1）求证：∠BAF=∠DAE；
（2）若AD=5，DF=3，求：的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF，
而BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠BAF=∠DAE；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴△BEM∽△DAM，
∴=，即=，
∴=．
分析：（1）根据菱形的性质得AB=AD，∠ABE=∠ADF，则可根据“SAS”判断△ABE≌△ADF，于是有∠BAE=∠DAF，然后利用等量变换后易得到结论
（2）根据菱形的性质得到AD∥BC，再根据三角形相似的判定方法得到△BEM∽△DAM，利用相似比得到=，然后根据比例性质可计算出=．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了菱形的性质以及三角形全等的判定与性质．