Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．
①求证：四边形ADCE为矩形；
②求证：DF∥AB，DF=；
③当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．

Answer 1

证明：
（1）∵AB=AC，AD⊥BC垂足是D，
∴AD平分∠BAC，∠B=∠5，
∴∠1=∠2，
∵AE是△ABC的外角平分线，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴AF=CF=AC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=BC，
∴DF是△ABC的中位线，
即DF∥AB，DF=．
（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．
∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC
∴∠5=∠2=∠3=45°，
∴AD=CD，
又∵四边形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE为正方形．