Question

如图，AB是⊙O的直径，过A作⊙O的切线，在切线上截取AC＝AB，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC于E，⊙F是△ADE的外接圆，F在AE上．

求证：(1)CD是⊙F的切线；(2)CD＝AE．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：(1)连结DF，∵OA=OD，FA=FD，∴∠OAD=∠ODA，∠FAD=∠FDA，∴∠BAC=∠FDO．∵AC为⊙O的切线，∴∠BAC=．∴∠FDO=，∴CD⊥DF．∴CD是⊙F的切线； 　　(2)∵DF⊥CD，∴Rt△CDF∽Rt△CAO．∴．又∵AC=AB =2OA，∴．∴CD=2DF．∵AE=2DF，∴CD=AE． 　　证法二：(1)连结DF．∵AC是⊙O的切线，∴∠BAE=，∴∠B+∠AEB =．∵FD=FE，∴∠FDE=∠FED．∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=∠EDC．∴∠FDC=∠EDC=∠FEB+∠B=．∴∠CD⊥DF．∴CD是⊙F的切线 　　(2)∵CD是⊙F的切线，∴CD2=CE·CA．设AC=AB=2r，∴CD2=(AC－AE)·AC=4r2－2r·AE．①　∵AC是⊙O的切线，∴AC2=CD(CD＋2r)．∴CD2=4r2－2r·CD．②　由①和②得　CD=AE．