Question

已知抛物线y=x²+bx+c交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（3，-4），直线y=x与抛物线在第一象限的交点为C，连接OB．
（1）填空：b=______，c=______；
（2）如图（1），点P为射线OC上的动点，连接BP，设点P的横坐标为x，△OBP的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）如图（2），点P在直线OC上的运动，点Q在抛物线上运动，问是否存在P、Q，使得以O，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）已知B（3，-4），根据抛物线的对称性可知A（0，-4），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得
，解得b=-3，c=-4；

（2）作PD⊥y轴，则D（0，x）
梯形ABPD面积=（x+3）（x+4）=+x+6
△AOB面积=×3×4=6
△DOP面积=×x×x=
∴S=梯形ABPD面积-△AOB面积-△DOP面积=x

（3）存在．设P（4y，y），Q（x，x²-3x-4），
则OB=PQ，OQ=BP，
∵B（3，-4），
∴OB=5，
∴PB²=（4y-3）²+（y+4）²=x²+（x²-3x-4）²，①
OB²=（4y-x）²+（x²-3x-4-y）²=25，②
①②联立得，，，，．
故P₁（8，2），P₂（，），P₃（-，-），P₄（，）．
分析：（1）根据B点坐标及抛物线的对称性，可求A点坐标，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组可求b、c；
（2）连接AB，作PD⊥y轴，则D（0，x），在梯形ABPD中，分别计算梯形、两个直角三角形的面积，利用割补法表示△OBP的面积S；
（3）因为AB=3，根据PQ∥AB，PQ=AB，求出满足条件的P点坐标．
点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法，坐标系中，面积的表示方法及平行四边形性质的运用．