Question

某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售.镇政府对该花木产品每年固定投资x万元，所获利润为万元. 为了响应我国西部大开发的宏伟决策，镇政府在制定经济发展的10年规划时，拟定开发花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路；后5年公路修通时，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每年固定投资x万元可获利润万元.
（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（3）若按此规划进行开发后，后5年所获利润共为2400万元，那么当本地销售投资金额大于外地销售投资金额时，每年用于本地销售投资的金额约为多少万元？( ，计算结果保留1位小数)

Answer 1

解：（1）由
                 即不开发此产品，每年可获得最大利润10万元. 　　　　
             ∴不开发此产品，10年的最大利润为W₁=10×10=100(万元)；
（2）若对产品开发，前5年，由于每年必须从专项资金中拿出25万元投资修公路. 　　　　　
       ∴可用资金只有50-25=25(万元) 　　　　　 
         当x=25时，每年最大利润
         ∴前5年的最大利润W₂=9.5×5=47.5(万元) 　　　　　
         设后5年中，a万元用于本地销售投资，则用于外地销售投资金额为(50-a)万元. 　　　　　
        后5年的利润
                                  　=-5a²+200a+1500 
                                     =-5(a-20)²+3500
        ∵-5<0 ∴当a=20时，W3取得最大值为3500万元. 　 　　　　
         ∴10年的最大利润为W=W₂+W₃=47.5+3500=3547.5(万元) ；
（3）令W₃=2400 则-5a+200a+1500=2400
        ∴a²-40a+180=a   
         a₁=20+2×7.415≈34.8          a₂=20-2×7.416 ≈5.2万　　　　 
        　∵本地投资金额>外地投资金额
            ∴a=34.8 
            即每年用于本地销售投资的金额约为34.8