Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E，F在斜边AB上，且∠ECF=45°．求证：AE²+BF²=EF²．

Answer 1

证明：把△CBF绕点A顺时针旋转90°，得到△ACP．连接EP．
则△CBF≌△CAP．
∴BF=AP，CF=CP，∠CBF=∠CAP=45°．
∵∠ACB=90°，∠PCF=90°．
∴∠PCE=∠ECF=45°，
在△PCE和△FCE中，
，
∴△PCE≌△FCE（SAS）．
∴EF=EP，
又∵∠PAE=45°+45°=90°，
∴AE²+AP²=EP²，
即AE²+BF²=EF²．
分析：利用已知首先得出△PCE≌△FCE，即可把EF，AE，BF放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明．
点评：考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质和勾股定理．熟练掌握旋转的性质，充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段之间的关系．