Question

如图所示，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）。
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限。
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标。

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴为：直线x=-1， ∵抛物线过点C（0，-3），则， ∴k=-4；
（2）如图，根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小，又因为P点要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点， 由（1）可知，抛物线的表达式为：， 令y=0，则，解得：， 则点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（1，0）， 设直线AC的表达式为y=kx+b， 则解得： 所以直线AC的表达式为y=-x-3， 当x=-1时，， 所以，此时点P的坐标为（-1，-2）；
（3）①依题意得： 当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大， 由抛物线表达式可知，抛物线的顶点坐标为（-1，-4）， ∴点M的坐标为（-1，-4）， △AMB的最大面积， ②如图，过点M作MH⊥x轴于点H，连结AM、MC、CB， 点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（）， 则， 当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为， 当时， ∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（）。