Question

如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F为垂足，△AEF的高线AN，FM相交于点H，设EF=a，AH=b（a＞b），求?ABCD的对角线AC的长．

Answer 1

解：作CG⊥AD于G，得矩形AECG，AC=EG．
连接EH，FG，
∵H是△AEF的两条高线交点，
∴EH⊥AF，又∵AF⊥CF，
∴EH∥CF；
∵FH⊥AE，CE⊥AE，∴FH∥CE，
四边形ECFH是平行四边形．
于是，EC=HF，EC∥HF，
但EC=AG，EC∥AG，∴AG=HF，AG∥HF，
∴四边形AHFG是平行四边形，GF=AH=b．
又∵AH⊥EF，AH∥GF，∴GF⊥EF，
∴EG²=EF²+GF²=a²+b²，
∴．
分析：作CG⊥AD于G，得矩形AECG，AC=EG．连接EH，FG，即可求证四边形ECFH是平行四边形，进而求证四边形AHFG是平行四边形，GF=AH=b，进而求证GF⊥EF，根据勾股定理即可解题．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，平行四边形的判定，平行四边形对边相等且平行的性质，本题中求证GF⊥EF是解题的关键．