Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求证：BG=GC；
（3）求△CFG的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=6，∠B=∠D=90°，
∵将△ADE对折得到△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，
又∵AG=AG，
∴△ADE≌△AFG．
（2）证明：∵AB=6，CD=3DE，
∴DC=6，
∴DE=2，CE=4，
∴EF=DE=2，
设FG=x，
则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，4²+（6-x）²=（x+2）²，
解得x=3，
∴BG=FG=3，CG=6-x=3，
∴BG=CG．
（3）过点F作FN⊥CG于点N，

则∠FNG=∠DCG=90°，
又∵∠EGC=∠EGC，
∴△GFN∽△GEC，
∴，
∴，
∴，
∴S_△CGF=．
分析：（1）由轴对称可以得出AF=AD，∠D=∠AFE=90°，得出∠AFG=90°，根据正方形的性质可以得出AF=AB，根据HL就可以判断△ABG≌△AFG．
（2）由条件可以求出ED的值，设FG=x，则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，由勾股定理可以求出x的值，从而可以求出BG和CG的值，得出结论．
（3）过点F作FN⊥CG于点N，可以得出∠FNG=∠DCG=90°，通过证明△GFN∽△GEC，得出，可以求出FN的值，最后利用三角形的面积公式可以求出其面积．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及三角形面积公式的运用．在解答中注意全等三角形和相似三角形的对应顶点在对应的位置．