Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
（1）求AB的长；
（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由。

Answer 1

解：（1）作AE⊥BC， ∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9， ∴BE=（BC-AD）÷2=2.5， ∵∠B=45°， ∴AB=；
（2）作QF⊥BC， ∵等腰梯形ABCD， ∴∠B=∠C=45°， ∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x， ∴BP=CQ=x， ∵BC=9， ∴CP=9-x，QF=x， 设△PQC的面积为y， ∴y=（9-x）·x· 即y=-， ∴当x=-时，y的值最大， ∴当x=时，△PQC的面积最大；
（3）假设AB上存在点M，使得四边形PCQM为菱形， ∵等腰梯形ABCD，∠B=∠C=45°， ∴CQ=CP=BP=MP，∠B=∠C=∠MPB=45°， ∴∠BMP=45°， ∵∠B=∠APB=∠BMP=45°， 不符合三角形内角和定理， ∴假设不存在， ∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形。