Question

如图，点A是BC上一点，△ABD、△ACE都是等边三角形．
试说明：
（1）AM=AN；
（2）MN∥BC；
（3）∠DOM=60°．

Answer 1

证明：（1）∵△ABD、△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴180°-∠CAE=180°-∠BAD，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
∵，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠DAN=180°-∠BAD-∠CAE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
∵，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM=AN；

（2）∵∠MAN=180°-60°×2=60°，AM=AN，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMN=60°，
∴∠AMN=∠BAD，
∴MN∥BC；

（3）在△ABM中，∠AMB=180°-∠BAM-∠BAD，
在△DMO中，∠DMO=180°-∠DAN-∠DOM，
∵∠BAM=∠DAN（已证），∠AMB=∠DMO（对顶角相等），
∴∠DOM=∠BAD=60°．
分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，再根据等角的补角相等求出∠BAE=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADC，再利用“角边角”证明△ABM和△ADN全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）证明△AMN是等边三角形，然后求出∠AMN=60°，从而得到∠AMN=∠BAD，再根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（3）利用三角形的内角和定理表示出∠AMB和∠DMO，再根据对顶角相等可以求出∠DOM=∠BAD，从而得解．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，二次证明三角形全等得到△ABM和△ADN全等是证明本题的关键，也是难点．