如图(1)在正方形ABCD中.对角线AC与BD相交于点E.AF平分于∠BAC.交BD于点F. 1.求证:EF+- AC =AB 2.点C1从C出发.沿着线段CB向点B运动.同时点A1从A出发.沿着BA的延长线运动.点C1与点A1的运动速度相同.当运点C1停止运动时.另一动点A1也随之停止运动.如图(2)A1.F1平分∠BA∠BA1C1.交BD于F1.过点F1 作F1E1⊥A1C1.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图（1）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分于∠BAC，交BD于点F。

1.求证：EF+－ AC =AB

2.点C₁从C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A₁从A出发，沿着BA的延长线运动，点C₁与点A₁的运动速度相同，当运点C₁停止运动时，另一动点A₁也随之停止运动。如图（2）A₁_、F₁平分∠BA∠BA₁C₁_，交BD于F₁，过点F₁ 作F₁E₁⊥A₁C₁_，垂足为E₁，请猜想E₁ F₁， A₁C₁，与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想

3.在（2）的条件下，当A₁E₁=3，C₁E₁=2，求BD的长。

【答案】

1.过点F作FM⊥AB，RT△AMF≌△AEF ∴AM＝AE ∵∠ABE＝45°∴BM＝MF ∴AB＝EF+AC

2.连接F₁C₁，过点F₁作F₁P⊥A₁B于P，F₁Q⊥BC于点Q

∵A₁F平分∠BA₁C₁∴E₁F₁=PF₁∴E₁F₁=PF₁=QF₁∵A₁F=A₁F∴RT△A₁E₁F₁≌RT△A₁PF₁∴A₁E₁=A₁P

同理QF₁=PF₁_，∴E₁F₁=PF₁=QF₁∵A₁F=A₁F RT△A₁E₁F₁≌RT△A₁PF₁∴A₁E₁=A₁P同理RT△QF₁C₁≌RT△E₁F₁C₁

C₁Q=C₁E₁∵A₁A=C₁C∴A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC=2AB∴PB=PF₁=QF₁=QB

∴A₁B+BC₁=A₁P+PB+QB+C₁Q=A₁P+C₁Q+2E₁F₁

∴2AB=A₁E₁+C₁E₁+2E₁F₁=A₁C₁+2E₁F₁

∴E₁F₁+A₁C₁=AB

3.设PB=X∴QB=X

∵A₁E₁=3；E₁C₁=2；A₁P=A₁E₁=3；QC₁=C₁E₁=2在RT△A₁BC₁中A₁B+BC₁=A₁C₁即（3+X）+（2+X）=5

∴X₁=1，X₂=-6（舍）∴PB=1，E₁F₁=1，∵A₁C₁=5∴AB=，BD=

【解析】略

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如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形．

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（2012•长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．
应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为

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