Question

如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上．
（1）用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点（保留作图痕迹，不写作法和证明．另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可）；
（2）若AB=6，AC=2，求正方形ADEF的边长．

Answer 1

解：（1）作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E；
（痕迹清晰、准确，本步骤给满分，否则酌情扣1至；另外两点及边作的是否准确，不扣分）


（2）如图，∵四边形ADEF是正方形，
∴EF∥AB，AD=DE=EF=FA．
∴△CFE∽△CAB．
∴．
∵AC=2，AB=6，
设AD=DE=EF=FA=x，
∴=．
∴2x=12-6x，
∴x=．即正方形ADEF的边长为．
（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找到D点或F点，给2分）
分析：（1）根据题目要求作图；
（2）易证△CFE∽△CAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求解．
点评：注意到△CFE∽△CAB是解决本题的关键．