Question

已知x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的两个实数根，且x₁+2x₂=3-．
（1）求x₁，x₂及a的值；
（2）求x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将x₁+2x₂=3-与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组即可求出x₁，x₂及a的值；
（2）欲求x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值．
解答：解：（1）由题意，得，
解得x₁=1+，x₂=1-．
所以a=x₁•x₂=（1+）（1-）=-1；
（2）由题意，得x₁²-2x₁-1=0，即x₁²-2x₁=1
∴x₁³-3x₁²+2x₁+x₂
=x₁³-2x₁²-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂
=x₁-1+x₂
=（x₁+x₂）-1
=2-1
=1．
点评：若一元二次方程有实数根，则根与系数的关系为：x₁+x₂=-，x₁•x₂=，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．