Question

如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0）、A（0，2）、B（2，0）的圆上一个动点（P与O、B不重合），则∠AOB=________度，∠OPB=________度．

Answer 1

90    45或135
分析：由于x轴、y轴互相垂直，易知∠AOB=90°；根据A、B两点坐标，可得OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°．①当P点在OB上方的优弧上时，∠OPB和∠OAB是同弧所对的圆周角，因此两角相等；②当P点在OB下方的劣弧上时，根据圆内接四边形的对角互补，可求得∠OPB的度数．
解答：由题意知∠AOB=90°，OA=OB=2；
∴△AOB是等腰直角三角形，∠OAB=45°；
∴∠OCB=∠OAB=45°；
①当P点在优弧OAB上时，∠OPB=∠OAB=45°；
②当P点在劣弧OB上时，∠OPB=180°-∠OAB=135°；
因此∠AOB=90°，∠OPB=45°或135°．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．注意P点的位置有两种情况，要分类讨论，以免漏解．