Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH．小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想：

小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；

小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；

请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N 　　∵四边形ABCD是正方形 　　∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB 　　∵EM⊥CD 　　∴四边形BCME是矩形 　　∴EM＝BC 　　同理HN＝AB 　　∴EM＝HN 　　由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN 　　∴∠FHN＋∠HOG＝∠MEG＋∠EON＝90° 　　∵∠EON＝∠HOG 　　∴∠FHN＝∠MEG 　　∴△HFN≌△EGM　5分 　　小亮的猜想是错误的 　　如图，在BC上找两个点F和，使B＝CF取AD的中点H，连接FH和H，易证HF＝H 　　作EG⊥H，其中点E在AB上，点G在CD上 　　由上题可知EG＝H＝FH 　　但HF和EG不互相垂直．　3分