Question

如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA=x，CD=y．
（1）求BD长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当CE⊥OD时，求AO的长．

Answer 1

解：（1）∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCA=∠ODB，
∵∠BOD=∠A，
∴△OBD∽△AOC，
∴，
∵OC=OD=6，AC=4，
∴，
∴BD=9；

（2）∵△OBD∽△AOC，
∴∠AOC=∠B．
又∵∠A=∠A，
∴△ACO∽△AOB，
∴，
∵AB=AC+CD+BD=y+13，
∴，
∴y关于x的函数解析式为． 定义域为；

（3）∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO，∴y+4=x，∴．
∴（负值不符合题意，舍去）．
∴AO=．
分析：（1）易得△OBD∽△AOC，利用相似三角形的对应边成比例可得BD长；
（2）易得△ACO∽△AOB，利用相似三角形的对应边成比例可得y与x的关系式，根据y为正数及x为△AOC的一边可得x的取值范围；
（3）可利用等角对等边判断出AO=AD，结合（2）得到的关系式把相关数值代入求得合适的解即可．
点评：综合考查圆及相似三角形的知识；找到与所求线段相关的相似三角形是解决本题的关键．