Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5，AD=8，CD=3，线段AD上有一动点E，以E点为圆心，作一个圆E与线段AB相切于点F，
（1）求sinA的值；
（2）若设DE=x，EF=y，试写出y关于自变量x的函数关系式和x的取值范围；
（3）当△AEF与△CED相似时，求DE的长．

Answer 1

解：（1）过点B作BH⊥AD于H，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BHD=∠D=∠DCB=90°，
∴四边形BCDH是矩形，
∴BH=CD=3，
∴sinA=；

（2）∵DE=x，AD=8，
∴AE=8-x，
∵⊙E与AB相切于F点，
∴∠AFE=90°，
∴sinA=，
即，
∴y=，
其中定义域为≤x＜8；（

（3）当△AEF∽△CED相似时，
，
即，
解得x=，
当△AEF∽△ECD相似时，
，
即，
解得x=4．
∴DE的长为或4．
分析：（1）首先过点B作BH⊥AD于H，易证得四边形BCDH是矩形，即可求得BH的值，然后由sinA=，即可求得答案；
（2）由DE=x，AD=8，即可求得AE的长，又由⊙E与AB相切于F点，即可得sinA=，又由（1）可得，继而求得y关于自变量x的函数关系式和x的取值范围；
（3）分别从△AEF∽△CED与△AEF与△ECD去分析，根据三条对应边的比相等的三角形相似，即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角梯形的性质以及圆的切线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．