Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵点C（0，3），
∴-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；

（2）∵抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
∴其对称轴x=-1，顶点P的坐标为（-1，4）
∵点M在抛物线的对称轴上，
∴设M（-1，m），
∵A（1，0），P（-1，4），
∴设过点A、P的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=-2x+2，
∴E（0，2），
∴S_△ACP=S_△ACE+S_△PEC=CE•1+CE•1=×1×1+×1×1=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴MP×2=2，解得MP=2，
当点M在P点上方时，m-4=2，解得m=6，
∴此时M（-1，6）；
当点M在P点下方时，4-m=2，解得m=2，
∴此时M（-1，2），
综上所述，M₁（-1，6），M₂（-1，2）．
分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），再把C（0，3）代入求出a的值即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式求出求出抛物线的对称轴方程及顶点坐标，设出M点的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，求出E点坐标，故可得出△ACP的面积，进而可得出M点的坐标．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度不大．