Question

圆O中，弦AB=AC，AD是圆O的直径．求证：AD平分∠BAC．

Answer 1

证明：方法1：过O点分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，如图，
∴OE，OF分别为弦AB，AC的弦心距，
∵弦AB=AC，
∴OE=OF，
∴∠1=∠2，
即AD平分∠BAC．
方法2：本题也可以通过连接OB，OC，得△AOC≌△AOB（sss），得∠COA=∠BAD，即AD平分∠BAC．
方法3：本题也可以通过连接BD，CD，得RT△ABD≌RT△AOB（HL），得∠COA=∠BAD，即AD平分∠BAC．
分析：过O点分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．由AB=AC，根据在同圆或等圆中，相等的弦所应的弦的弦心距相等得到OE=OF，再利用角平分线的性质，得到∠1=∠2．
点评：本题考查了垂径定理，弦、弦心距间的关系以及角平分线的性质，此类问题常常过圆心作弦的垂线，即作出弦心距，利用数形结合的思想来解决．