Question

15．如图，AB为⊙O的直径，AT是⊙O的切线，TB交⊙O于D，TO交⊙OFC，TO的延长线交⊙O于E，若BD=TD，求tan∠BDE值．

Answer 1

分析 连接BC、AD，作BF⊥CE于点F，易证△BAT是等腰直角三角形，设圆的半径长是x，根据△OAT∽△OFB，利用相似三角形的对应边的比相等，用x表示出BF，则CF即可求得，则∠BAF的正切值即可求得，然后根据∠BDE=∠BCE即可求解．

解答 解：连接BC、AD，作BF⊥CE于点F．
∵AT是⊙O的切线，
∴AB⊥AT，即∠BAT=90°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵BD=DT，
∴△ABT是等腰直角三角形．
设圆的半径长是x，则OA=OB=x，AT=AB=2x．
在直角△OAT中，OT=$\sqrt{O{A}^{2}+A{T}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x．
∵在△OAT和△FOB中，∠BOF=∠TOA，∠TAO=∠BOF=90°，
∴△OAT∽△OFB，
∴$\frac{BF}{AT}$=$\frac{OB}{OT}$，即$\frac{BF}{2x}$=$\frac{x}{\sqrt{5}x}$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
在Rt△OFB中，OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x．
∴CF=OC+OF=x+$\frac{\sqrt{5}}{5}$x=$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$x．
∴tan∠BCF=$\frac{BF}{CF}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{10}$．
∴tan∠BDE=tan∠BCF=$\frac{5-\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查了切线的性质定理、相似三角形的判定与性质，以及三角函数的求法，正确作出辅助线，把求三角函数的问题转化为求线段的比的问题是关键．