Question

如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q，过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N．
（1）求证：PN=QN；
（2）求证：MN⊥BC．

Answer 1

证明：（1）连接DN， ∵D为△ABC中线AM的中点， ∴AD=MD，MB=CM， ∵MP⊥AB，MQ⊥AC， ∴∠APM=∠AQM=90°， ∴△APM、△AMQ是直角三角形， ∴PD=AM，QD=AM， ∴PD=QD， ∴Rt△DPN≌Rt△DQN（HL）， ∴NP=PQ； （2）取BM、CM的中点S、T， 连接SP、SN、TQ、TN， ∴SP=BM=MC=TQ， ∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM =90°﹣∠B﹣∠DPA =90°﹣∠B﹣∠BAM =90°﹣∠AMC =90°﹣∠DMQ﹣∠QMT =90°﹣∠DQM﹣∠MQT =∠TQN， ∴△SPN≌△TQN， ∴SN=TN， ∵SM=TM， ∴NM⊥BC