Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，则AD的长为________．

Answer 1

3
分析：由于AD∥BC，可得∠BCA=∠CAD，而∠ADC=∠BAC=90°，那么可证△ADC∽△CAB，于是AB：AC=CD：AD，这样不好计算，可对此式左右进行平方再计算，并把AC²=AD²+CD²代入，即可求出AD．
解答：如右图所示，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD，
又∵∠ADC=∠BAC=90°，
∴△ADC∽△CAB，
∴AB：AC=CD：AD，
∴AB²：AC²=CD²：AD²，
又∵AC²=AD²+CD²，
∴4：（AD²+3）=3：AD²，
解得AD=3或-3（负数舍去）．
故答案是3．
点评：本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ADC∽△CAB，并会对运用平方进行计算．