Question

（2012•历下区二模）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b²-4ac＞0；③方程ax²+bx+c=0的另一个根在2和3之间；④2c＜3b；⑤a十b＞m（am+b），（m≠1的实数）
其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据抛物线开口方向得到a＜0，根据对称轴为直线x=-

b

2a

=1，即b=-2a，得到b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则有abc＜0；根据抛物线与x轴有两个交点得到b²-4ac＞0；
利用对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在点（2，0）和点（3，0）之间，于是得到方程ax²+bx+c=0的另一个根在2和3之间；把x=-1代入二次函数y=ax²+bx+c得到a-b+c＜0，然后利于a=-

1

2

b，可变形得到2c＜3b；利用二次函数最大值问题得到x=1时，函数值最大，最大值为a+b+c，则a+b+c＞am²+mb+c（m≠1），整理后得到a十b＞m（am+b）．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-

b

2a

=1，即b=-2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（-1，0）和原点之间，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（2，0）和点（3，0）之间，
∴方程ax²+bx+c=0的另一个根在2和3之间，所以③正确；
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，而a=-

1

2

b，
∴2c＜3b，所以④正确；
∵x=1时，函数值最大，最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞am²+mb+c（m≠1），即a十b＞m（am+b），所以⑤正确．
故选D．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

，顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点．