Question

已知三角形的三边依次为n²-1，2n，n²+1，当n取2至10这9个自然数时，得到9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为________．

Answer 1

99，20，101
分析：首先由三角形的三边依次为n²-1，2n，n²+1，根据勾股定理的逆定理可得：此三角形是直角三角形，然后分别求得n取2至10这9个自然数时，9个不同的三角形的最小角的正弦值，根据正弦函数的增减性问题，可得当n=10时是具有最小内角的三角形，继而求得其三边长．
解答：∵三角形的三边依次为n²-1，2n，n²+1，
又∵（n²-1）²=n⁴-2n²+1，（2n）²=4n²，（n²+1）²=n⁴+2n²+1，
∴（n²-1）²+（2n）²=（n²+1）²，
∴此三角形是直角三角形，
当n=2，则n²-1=3，2n=4，n²+1=5，
则最小角的正弦为：；
当n=3，则n²-1=8，2n=6，n²+1=10，
则最小角的正弦为：=；
当n=4，则n²-1=15，2n=8，n²+1=17，
则最小角的正弦为：；
当n=5，则n²-1=24，2n=10，n²+1=25，
则最小角的正弦为：=；
当n=6，则n²-1=35，2n=12，n²+1=37，
则最小角的正弦为：；
当n=7，则n²-1=48，2n=14，n²+1=50，
最小角的正弦为：=；
则当n=8，则n²-1=63，2n=16，n²+1=65，
则最小角的正弦为：；
当n=9，则n²-1=80，2n=18，n²+1=82，
则最小角的正弦为：=；
∵最小，即其对应的角最小，
当n=10，则n²-1=99，2n=20，n²+1=101，
则最小角的正弦为：，
∵最小，即其对应的角最小，
∴当n²-1=99，2n=20，n²+1=101，
有最小内角，其三角形的三边长依次为99，20，101．
故答案为：99，20，101
点评：此题考查了三角形的边角关系，勾股定理的逆定理以及正弦函数的应用．此题难度较大，解题的关键是根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后根据正弦函数的性质求解，注意分类讨论思想的应用．