Question

如图，已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．

求证：∠E＝∠A＋∠C．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本题通过添加辅助线，利用平行线的性质、三角形内角和定理等来证明． 　　证法一：(利用两直线平行，内错角相等) 　　如图，过点E作EF∥AB． 　　因为AB∥CD，(已知) 　　所以EF∥CD．(平行于同一条直线的两条直线平行) 　　所以∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF． 　　(两直线平行，内错角相等) 　　所以∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠A＋∠C．(等量代换) 　　证法二：(利用三角形内角和定理及两直线平行，同旁内角互补) 　　如图，连接AC． 　　因为AB∥CD，(已知) 　　所以∠BAC＋∠ACD＝180°．(两直线平行，同旁内角互补) 　　所以∠BAE＋∠EAC＋∠ACE＋∠ECD＝180°． 　　因为在△ACE中，∠ACE＋∠E＋∠EAC＝180°，(三角形内角和定理) 　　所以∠E＝∠BAE＋∠ECD．(等量代换) 　　证法三：(利用三角形内角和定理的推论及两直线平行，内错角相等) 　　如图，延长AE，交CD于点F． 　　因为AB∥CD，(已知) 　　所以∠A＝∠AFC．(两直线平行，内错角相等) 　　因为∠AEC＝∠C＋∠AFC，(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) 　　所以∠AEC＝∠A＋∠C．(等量代换) 　　证法四：(利用周角的性质及两直线平行，同旁内角互补) 　　如图，过点E作EF∥AB． 　　因为AB∥CD，(已知) 　　所以EF∥CD．(平行于同一条直线的两条直线平行) 　　所以∠A＋∠AEF＝180°，∠C＋∠CEF＝180°．(两直线平行，同旁内角互补) 　　所以∠A＋∠AEF＋∠C＋∠CEF＝360°．(等式性质) 　　因为∠AEF＋∠CEF＋∠AEC＝360°，(周角定义) 　　所以∠AEC＝∠A＋∠C．(等量代换) 　　本题在课本中还有(2)、(3)两个小题，也是探究三个角度的关系．请同学们根据上面的证明方法，试着证明(2)、(3)两个小题，看一看你可以用多少种方法来证明．