Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点 D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD 于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）。
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_{四边形PQCM}=S_△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC， ∴AP=AM ∴10-2t=2t， 解得。 ∴当时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）过P作PE⊥AC，交AC于E， ∵ PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC， ∴△PBQ是等腰三角形， ∴PQ=PB=t， ∴， ∴FD=BD-BF=8-， 又∵MC=AC-AN=10-2t， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为：；
（3）∵S△ABC=， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴当时，S四边形PQCM=S△ABC；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H， 则△AHM∽△ADB， ∴， 又， ∴， ∴， 在Rt△HMP中，， 又∵， 由得， 解得：（舍去）， ∴当时，点M在线段PC的垂直平分线上。