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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
    （1）求抛物线的解析式；

    （2）若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由；
    （3）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC1，再将△AOC1绕平面内某点旋转180°后得△A1O1C2（A，O，C1分别与点A1，O1，C2对应）使点A1，C2在抛物线上，求A1，C2的坐标．
    分析：（1）令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为C的纵坐标，确定出C的坐标，再由BC与x轴平行，得到B的纵坐标与C的纵坐标相等，把此时的纵坐标代入抛物线解析式求出x的值，得到B的横坐标，确定出B的坐标，又AC=BC，由BC的长得到AC的长，在直角三角形AOC中，由AC及OC的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，把A的坐标代入抛物线解析式中，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出抛物线的解析式；
    （2）分三种情况考虑：①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP1，过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，且由抛物线解析式求出对称轴，由OA+ON求出AN的长，在直角三角形ABN中，由AN，BN，利用勾股定理求出AB的长，即为AP1的长，在直角三角形AMP1中，由AP1及AM的长，利用勾股定理求出P1M的长，再根据P1为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P1的坐标；②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP2，同理BP2的长，在Rt△BQP2中，根据勾股定理求出QP2的长，再由QM等于B的纵坐标，求出MP2的长，再根据P2为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P2的坐标；③以AB为底，顶角为∠P时，P3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，又AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
    即直线CP3为线段AB的垂直平分线，由A和B的坐标，利用中点坐标公式求出AB中点的坐标，设出线段AB垂直平分线的方程为y=kx+b，把C和线段AB的中点代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出线段AB垂直平分线的方程，将对称轴x的值代入求出y的值，即为P3的纵坐标，进而确定出P3的坐标；
    （3）由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴与x轴的交点M为对称中心，即M为AA1的中点，M为C1C2的中点，由C关于y轴的对称性得到C1的坐标，再由A和M的坐标，利用中点坐标公式即可求出C2及A1的坐标．
    解答：解：（1）令抛物线y=ax2-5ax+4中x=0，求得y=4，
    ∴C（0，4），又BC∥x轴，
    ∴B的纵坐标为4，
    把y=4代入y=ax2-5ax+4得：ax2-5ax=0，即ax（x-5）=0，
    解得：x=0（舍去）或x=5，
    ∴B的坐标为（5，4），
    ∴BC=5，又AC=BC，
    ∴AC=5，又OC=4，
    在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA=
    		AC2-OC2
    =3，
    ∴A（-3，0），
    把x=-3，y=0代入y=ax2-5ax+4得：9a+15a+4=0，
    解得：a=-
    1
    6
    ，
    则抛物线解析式为y=-
    1
    6
    x2+
    5
    6
    x+4；


    （2）存在符合条件的点P，共有3个，
    ①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP1，
    过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，
    由抛物线y=-
    1
    6
    x2+
    5
    6
    x+4，得到对称轴为x=
    5
    2
    ，
    又∵A（-3，0），B（5，4），
    ∴OA=3，ON=5，BN=4，
    ∴AN=OA+ON=8，
    在Rt△ABN中，利用勾股定理得：AB=
    		AN2+BN2
    =4
    		5
    ，
    ∴AP1=4
    		5
    ，又AM=3+
    5
    2
    =
    11
    2
    ，
    在Rt△AMP1中，根据勾股定理得：MP1=
    		AP12-AM2
    =
    		199
    2
    ，
    则P1（
    5
    2
    ，-
    		199
    2
    ）；
    ②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP2，同理BP2=4
    		5
    ，
    又BQ=
    1
    2
    BC=
    5
    2
    ，QM=4，
    在Rt△BQP2中，根据勾股定理得：QP2=QM+MP2=
    		BP22-QB2
    ，
    ∴4+MP2=
    		295
    2
    ，即MP2=
    		295
    -8
    2
    ，
    则P2（
    5
    2
    ，
    8-
    		295
    2
    ）；
    ③以AB为底，顶角为∠P时，P3为线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，
    又∵AC=BC，故C也在线段AB的垂直平分线上，
    即直线CP3为线段AB的垂直平分线，
    由A和B的坐标，得到线段AB的中点W坐标为（
    5-3
    2
    ，
    0+4
    2
    ），即（1，2），
    又∵C（0，4），
    设直线WC的方程为：y=kx+b，
    把W和C的坐标代入得：
    k+b=2
    b=4
    ，
    解得：k=-2，b=4，
    ∴线段AB垂直平分线的方程为y=-2x+4，
    将x=
    5
    2
    代入得：y=-2×
    5
    2
    +4=-1，
    则P3（
    5
    2
    ，-1），
    综上，满足题意的P有三个，分别为：P1（
    5
    2
    ，-
    		199
    2
    ）；P2（
    5
    2
    ，
    8-
    		295
    2
    ）；P3（
    5
    2
    ，-1）；

    （3）由抛物线的对称性得到：对称轴与x轴的交点M为对称中心，
    根据对称性得到：C1M=C2M，AM=A1M，
    ∵A（-3，0），M（
    5
    2
    ，0），
    ∴A1的坐标为（2×
    5
    2
    +3，0），即（8，0），
    又∵C（0，4），
    ∴C1（0，-4），又M（
    5
    2
    ，0），
    ∴C2的坐标为（2×
    5
    2
    -0，2×0+4），即（5，4）．
    点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，点的坐标，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，线段的中点坐标公式，勾股定理，以及折叠、旋转的性质，利用了转化，分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性强、较难的题，要求学生掌握知识要全面．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）如图，设抛物线的顶点为C，对称轴交x轴于点D，在y轴正半轴上有一点P，且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似，求P点的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    精英家教网阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
    12
    ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
    解答下列问题：
    如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
    （3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
    （4）在（2）的条件下，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h、面积为S，请分别写出h和S关于x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，矩形ABCD，点C与坐标原点O重合，点A在x轴上，点B坐标为（3，
    		3
    ），求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
    （2）如图2，抛物线E：y=-
    1
    2
    x2+bx+c    经过坐标原点O，其顶点在y轴左侧，以O为顶点作矩形OADC，A、C为抛物线E上两点，若AC∥x轴，AD=2CD，则抛物线的解析式是
     
    ；
    （3）如图3，点A、B、C分别为抛物线F：y=ax2+bx+c（a＜0）上的点，点B在对称轴右侧，点D在抛物线外，顺次连接A、B、C、D四点，所成四边形为矩形，且AC∥x轴，AD=2CD，求矩形ABCD的周长（用含a的式子表示）．
    精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，将抛物线y=-
    1
    2
    x2    平移后经过原点O和点A（6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y=-
    1
    2
    x2    相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料：
    如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

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    如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
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