Question

如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA=60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵MO=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=，
∴A（1，0），B（0，）；

（2）∵BC是切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（-3，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将点A、B、C代入得，
，
解得
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+；

（3）设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，
对称轴为x=-1，设点D（-1，m），
分3种情况讨论：①BC=BD；=2，
解得m=±+；
②BC=CD；=2，解得m=±2；
③BD=CD；=，解得：m=0，
∴符合条件的点D的坐标为，（-1，+），（-1，-+），（-1，2），（-1，-2），（-1，0）．
分析：（1）由题意可直接得出点A、B的坐标为A（1，0），B（0，）；
（2）再根据BC是切线，可求出BC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）先假设存在，看能否求出符合条件的点D即可．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形判定等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．