Question

如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）作∠BAC的角平分线，交BC于点D（尺规作图，保留痕迹）；
（2）在AD的延长线上任取一点E，连接BE、CE．求证：△BDE≌△CDE；
（3）当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形．请说明理由．

Answer 1

（1）解：如图所示：


（2）证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴∠BDE=∠CDE=90°，
在△BDE和△CDE中，，
∴△BDE≌△CDE，
（3）∵AE=2AD，
∴AE=DE．
∵BD=CD，
∴四边形ABEC是平行四边形．…6分
∵AD⊥BC，
∴平行四边形ABEC是菱形．…7分
分析：（1）以A为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A作射线，交BC于D，则，AD为所求；
（2）利用等腰三角形的性质根和全等三角形的判定方法SAS证△BAE和△CAE全等即可；
（3）先证明四边形ABEC是平行四边形，再有对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可得证．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图-基本作图的应用以及菱形的判定和主要考查学生的动手操作能力和推理能力．