Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=DC，连接AC，过点D作DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，若AE=AC．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若AD=2，求AB的长．

Answer 1

解：（1）连接EC，
∵AD=DC，DE⊥AC于点F，
∴点F是AC中点，
∴DE垂直平分AC，
∴EC=EA，
又∵AE=AC，
∴AE=EC=AC，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠EAC=60°；

（2）∵DE⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEF=30°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∵AD=2，
∴AE=2cot30°=2，
∵∠ABC=90°，
∴CB⊥AE，
又∵△AEC是等边三角形，
∴AB=AE=．
分析：（1）连接EC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点F是AC的中点，所以DE垂直平分AC，从而得到AE=EC，进而判定出△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；
（2）先求出∠AEF=30°，然后利用解直角三角形求出AE的长度，再根据等边三角形的性质可得AB=AE，代入数据计算即可得解．
点评：本题考查了直角梯形，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形，综合题型，但难度不大，求出AEC是等边三角形是解题的关键．